문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 최대 정수 함수 (문단 편집) == [[정수론]] 등 고등수학에서의 쓰임 == 대학 수학 초반부에는 [[해석학(수학)|해석학]][* 나오기는 한다. [[오일러-마스케로니 상수]] 정의 중 적분식에 등장한다.[br][math(\displaystyle \gamma =\int_1^\infty \left( \frac 1{\lfloor x \rfloor} - \frac 1x \right) \mathrm{d}x )]]에도 [[대수학]]에도 나올 일이 없는 대상이라, 최대 정수 함수는 대개의 사람들에게는 고등학교 때의 지나가던 불연속함수 예시 하나 정도로 잊혀지는 것이 보통이다. 뜬금없이 물리학에서 [[톱니파]], [[직각파]] 등을 설명할 때 등장하는 정도. 대신에 [[정수론]]을 파고 들어가면 예상 밖의 장소에서 간간히 튀어나오고, [[정수]]를 취급하면서 [[해석학(수학)|해석학]]도 나오는 [[해석적 정수론]] 등등에서는 강력한 도구 중 하나가 된다. 정수론에서의 사용 예시 중 하나는 [[팩토리얼]] [math(n!)]을 나누는 소수 [math(p)]의 값매김(즉, [math(p^e|n!)]인 최대의 정수 [math(e)])을 [math(\displaystyle e = \sum_{k=1}^\infty \left\lfloor \frac n{p^k} \right\rfloor)]로 구하는 것이다. 올림피아드 문제 등에서 '[math(2018!)] 뒤에 오는 [math(0)]의 개수는?'[* 참고로 풀이는 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left\lfloor\frac{2018}{5^n}\right\rfloor)]이다.] 등의 문제에나 나오는 것이라고 과소평가할 수도 있겠지만, 이것을 이용해 [[이항계수]]가 소수로 나누어 떨어지는지 아닌지의 여부를 판정할 수 있고, 이 성질은 상술한 버트런드 가설을 증명하는 데에 사용된다. 간단히 개요만 설명한다면 [math(\dbinom{2n}n)]의 [math(p)]진 값매김이 [math(p < n < 2n)]일 때는 확정적으로 [math(1)]이 되고, 그 외의 경우에서는 [math(\left\lfloor \log_pn \right\rfloor)] 이하가 된다는 것을 이용하는 것이다. 자세한 증명은 [[https://holdenlee.files.wordpress.com/2010/10/6-2.pdf|여기]]와 [[https://matthewhr.files.wordpress.com/2012/09/chebyshev-prime-number-estimates.pdf|여기]]를 참조. 최대정수함수의 또 다른 용도는 [[해석적 정수론]]에서 [[급수(수학)|급수]]에 대한 근사를 구할 때 사용된다. [[스틸체스 적분|리만-스틸체스 적분]]을 알고 있다면, 수열의 합을 다음의 최소정수함수에 대한 스틸체스 적분으로 대체할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sum_{a\le n\le b}f(n)=\int_{a-}^{b+}f(x) \,\mathrm{d}\!\left\lfloor x\right\rfloor)] }}} 여기서 [[부분적분]]을 활용하면 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int_{a-}^{b+} f(x) \,\mathrm{d} \!\left\lfloor x\right\rfloor=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x+\frac{f(a)+f(b)}{2}+\int_{a-}^{b+}f'(x)\left(\{x\}-\frac12\right)\!\mathrm{d}x)] }}} 중간 과정을 약간 생략하며 이 과정을 반복하면 다음의 오일러-매클로린 공식을 얻을 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sum_{a\le n\le b}f(n)=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x+\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{k=1}^\infty\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left\{f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right\})] }}} 여기서 [math(B_{2k})]는 [[베르누이 수]]이다. 이 공식 혹은 비슷한 테크닉을 활용하면 [[스털링 근사]], [[오일러-마스케로니 상수]], [[리만 가설|리만 제타 함수]]의 근사식 등을 얻을 수 있다. 다음의 푸리에 급수 전개도 이러한 맥락에서 활용되고는 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \left\lfloor x\right\rfloor=x-\frac12 +\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(2n\pi x)}{n\pi}\quad\left(x\notin\mathbb Z\right))] }}} [[https://www.desmos.com/calculator/jwbr6rilsq|위 급수 그래프 보기]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기